quarta-feira, 22 de junho de 2011

Geometria Analítica Plana - O ponto (exercícios de revisão e aprofundamento)

1. Sendo A(3, 1), B(4, -4) e C(-2, 2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto aos seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno).

2. Calcule a distância entre os pontos A(1, 3) e B(-2, 1).

3. Calcule a distância do ponto P(3, -4) à origem do sistema cartesiano.

4. Calcule a distância entre os pontos A(a - 2, b + 8) e B(a + 4, b).

5. Calcule o perímetro do triângulo ABC, cujos vértices são os pontos A(3, 1), B(-1, 1) e C(-1, 4).

6. Determine o valor real de m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados os seus vértices: A(-2, 5), B(2, -1) e C(3, m).

7. Dados os pontos A(x, 3), B(-1, 4) e C(5, 2), obtenha o valor real de x de modo que o ponto A seja equidistante dos pontos B e C.

8. Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2, -1) e B(3, 5).

9. Determine o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista dos pontos A(0, 1) e B(-2, 3).

10. Se o ponto P(x, y) equidista dos pontos A(-3, 7) e B(4, 3), qual é a relação existente entre x e y?

11. Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento, sendo A(-1, 7) e B(11, -8).

12. Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).

13. Dados os vértices P(1, 1), Q(3, -4) e R(-5, 2) de um triângulo, calcule o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q.

14. Dados os vértices consecutivos, A(4, -2) e B(3, -1), de um paralelogramo, e o ponto E(2, 1), interseção de suas diagonais, determine os outros dois vértices.

15. Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), o ponto M(1, 2) médio do lado AB e o ponto N(-1, 1) médio do lado BC. Calcule o perímetro do triângulo ABC.

16. Se M(1, 1), N(0, 3) e P(-2, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente, de um triângulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C.

17. O baricentro de um triângulo é o ponto G(5, 1) e dois de seus vértices são A(9, -3) e B(1, 2). Determine o terceiro vértice.

18. O baricentro de um triângulo é o ponto G(2/3, 1/3), o ponto médio do lado BC é N(0, 1/2) e o ponto médio do lado AB é M(1/2, 2). Determine os vértices A, B e C.

19. Determine os vértices B e C de um triângulo equilátero ABC, sabendo que o ponto médio do lado AB é M(√3, 1) e o ponto A é a origem do sistema cartesiano.

20. Num triângulo ABC são dados:
I) O vértice A(-4,3);
II) M(-4, 6) ponto médio de AB;
III) dAC = 8;
IV) dBC = 10.
Obtenha o vértice C do triângulo.

21. Os pontos A(2, 7), B(-3, 0) e C(16, 5) são colineares?

22. Determine y para que os pontos A(3, 5), B(-3, 8) e C(4, y) sejam colineares.

23. Os pontos A(2, -3), B(4, 3) e C(5, k/2) estão numa mesma reta. Determine o valor de k.

24. Se o ponto A(q, -4) pertence à reta que passa pelos pontos B(0, 6) e C(6, 0), determine o valor de q.

25. Se A(0, a), B(a, -4) e C(1, 2), para quais valores reais de a existe o triângulo ABC?

26. Dados A(10, 9) e B(2, 3), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta o eixo das abscissas.

27. Dados A(3, -1) e B(7, -5), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta o eixo das ordenadas.

28. Dados A(1, 5) e B(3, -1), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares.

29. Dados A(1, -5) e B(-1, -9), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes pares.

30. Dados A(-3, 4), B(2, 9), C(2, 7) e D(4, 5), obtenha o ponto P(x, y) de interseção das retas AB e CD.

31. Determine as coordenadas do ponto P(x, y) colinear simultaneamente com os pontos A(0, 3) e B(1, 0) e com os pontos C(1, 2) e D(0, 1).

32. Determine o ponto P da reta AB que está à distância 5 da origem do sistema cartesiano ortogonal. São dados: A(0, -25) e B(-2, -11).

33. Determine na reta AB os pontos equidistantes dos eixos cartesianos. Dados: A(2, 3) e B(-5, 1).

34. (UFF-RJ) Consideres os pontos A(3, 2) e B(8, 6). Determine as coordenadas do ponto P, pertencente ao eixo x, de modo que os segmentos PA e PB tenham o mesmo comprimento.

35. (EEM-SP) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são M(-2, 1), N(5, 2) e P(2, -3).

36. (PUC-MG) Calcule o valor de t, sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(-1, 6) são colineares.

37. (FEI-SP) Os pontos A(0, 1), B(1, 0) e C(p, q) estão numa mesma reta. Nessas condições, calcule o valor de p em função de q.

38. Sabendo que o ponto P(6, 4k - 1) pertence ao eixo das abscissas, calcule o valor de k.

39. Para quais valores reais de x o ponto P(2x - 4, 5x - 15) pertence ao quarto quadrante?

40. Determine o ponto P equidistante dos pontos A(6, 8), B(2, 4) e C(0, -2).

41. Determine, na bissetriz do 2° e do 4° quadrantes, o ponto P equidistante dos pontos A(3, 2) e B(-4, -1).

42. Se A(5, 1) e B(5, 3) são vértices de um triângulo equilátero ABC, calcule as coordenadas do vértice C.

43. Determine m, sabendo que o ponto P(3, m) dista 10 unidades do ponto A(-3, 6).

44. (MACK-SP) No triângulo ABC, A(1, 1) é um dos vértices, N(5, 4) é o ponto médio do lado BC e M(4, 2) é o ponto médio do lado AB. Calcule as coordenadas dos vértices B e C e o baricentro do triângulo.

45. (MACK-SP) Determine o ponto P distante 10 unidades do ponto A(-3, 6) com abscissa igual a 3.


GABARITO:

1. Triângulo isósceles
2. dAB = √13
3. dPO = 5
4. dAB = 10
5. 12
6. m = -1/3
7. x = 2
8. P(29/2, 0)
9. P(-3/2, 3/2)
10. 14x - 8y = -33
11. C = (3, 2) e D = (7, -3)
12. dAM = 5
13. dQM = √221/2
14. C(0, 4) e D(1, 3)
15. 2(2√5 + √2)
16. A(-1, 0), B(3, 2) e C(-3, 4)
17. C(5, 4)
18. A(2, 0), B(-1, 4) e C(1, -3)
19. B(2√3, 2) e C(0, 4) ou C(2√3, -2)
20. C(4, 3) ou C(-12, 3)
21. Não
22. y = 9/2
23. k = 12
24. q = 10
25. a ≠ -1 e a ≠ 4
26. P(-2, 0)
27. P(0, 2)
28. P(4, 4)
29. P(7/3, -7/3)
30. P(1, 8)
31. P(1/2, 3/2)
32. P(-3, -4) ou P(-4, 3)
33. P(17/5, 17/5) e P(-17/9, 17/9)
34. P(87/10, 0)
35. (-5, -4); (1, 6); (9, -2)
36. t = 3/5
37. p = 1 - q
38. k = 1/4
39. 2 < x < 3
40. P(13, -3)
41. P(-1/2, 1/2)
42. C(5 + √3, 2) ou C(5 - √3, 2)
43. m = 14 ou m = -2
44. B(7, 3), C(3, 5) e G(11/3, 3)
45. P(3, 14) ou P(3, -2)

Um comentário: